UESTC1001_1_Linear_Algebra_and_Space_Analytic_Geomery_202304.pdf

当然可以。我已经将2023年这道Q3的关键解题步骤和核心思想整理成了一份清晰的笔记格式，方便你复制和复习。

2023年Q3题解：求解列空间的基与线性组合

原问题：对于矩阵A：

1. 求A的列空间的一个基 (Find a basis for the column space of A)。
2. 将A的每个列向量写成该基的线性组合 (write each column of A as a linear combination of the basis vectors)。

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 1 & -1 \\ -3 & -12 & 1 & -2 & 2 \\ 2 & 8 & 3 & 5 & -2 \end{pmatrix}

$$

第一部分：寻找列空间的基

Step 1: 对矩阵A进行行化简，得到其行最简形（RREF）

对矩阵 A 进行一系列行变换后，得到其行最简形（RREF）为： $$ RREF = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Step 2: 确定主元（Pivot）位置

在行最简形矩阵中，主元（每行第一个非零元素“1”）分别位于 第1列、第3列、第5列。

Step 3: 写出列空间的基

列空间的基由 原始矩阵A 中与主元位置对应的列向量构成。 因此，Col(A) 的一个基是： $$ \text{Basis} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \right\} $$

第二部分：将所有列向量表示为基的线性组合

核心思想：行化简的过程保持了列向量之间的线性依赖关系。所以，RREF矩阵中列的关系，就等于原始矩阵A中列的关系。我们用 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 代表A的五个列向量。

我们的基是 $\{a_1, a_3, a_5\}$。